Z skrev för en tid sen om ett sannolikhetsexperiment à la Monty Hall, som går ut på att det är bättre att byta från en ursprunglig gissning på en vinst (bland alternativen vinst-nit-nit) efter att ett nit-alternativ plockats bort, än att stanna vid den första gissningen.
Funderade en hel del över det - eftersom resultatet inte direkt är givet, självklart eller uppenbart. (Men det blir tydligare om man har två vinster istället och en nit - då är det bättre att stå fast vid den ursprungliga gissningen.)
Så samlades ett litet gäng bloggare i helgen för att testa detta IRL. (Ni som var med får ge er till känna om ni vill - annars låta bli.)
Vi gick noggrant till väga - med två protokoll som fylldes på av två "gissare", som gissade snäppet över 50 gånger var - sammanlagt var det alltså lite över 100 gissningsomgångar.
En "lekledare" slog en tärning vars siffror fick avgöra under vilken av tre koppar tärningen lades (tärningen utgjorde "vinsten"), för att eliminera den mänskliga faktorns påverkan så långt det var möjligt. Vi "gissare" tittade bort/blundade medan tärningen lades under en av kopparna.
När vi hade valt en kopp plockades en "nitkopp" bort. Sen stod vi inför det knepiga valet att behålla ursprungskoppen eller byta.
Vi testade lite olika metoder under resans gång.
Den ena gissaren gick systematiskt till väga och bytte kopp varannan gång, och behöll den ursprungliga varannan gång. Hon hade tänkt växla kopp systematiskt också: 1-2-3-1-2-3 etc - men det blev inte så.
Själv gick jag till en början på intuition, men då jag märkte att feber och trötthet nästan helt slog ut dennas effektivitet, växlade jag metod till att byta kopp så gott som varje gång (också för att göra resultatet mer statistiskt säkerställt, eftersom jag inte bytte så mycket i början).
Det gav ett förbluffande resultat - tror det blev 7 eller 8 rätt på raken när jag gjorde så. Vilket inte precis är enligt statistiken...
Kontentan av det hela var att det för oss båda "gissare" blev ett resultat på drygt 2/3 rätt vid byte. I mitt fall 39/12 - i den andra "gissarens" fall 38/13. Antar att det i alla fall överensstämmer ganska bra med statistiken?
Vi funderar på att göra om försöket utifrån andra metoder: t.ex. att en alltid byter och den andra inte, och själv skulle jag vilja testa nån gång när intuitionen är en avgörande faktor i det hela - då tror jag fortfarande att resultatet kan motsäga statistiken med en övervikt åt rätt-gissningar med bibehållen förstakopp... ;-)
Slutsats hittills: även om det kan verka ologiskt: byt alltså kopp - om intuitionen inte är på topp!
kolla in Anders'inlägg, som jag länkar till ovan. Om du inte förstår så ska jag skriva ett förklarande inlägg, där det är fritt fram att ställa frågor.
Ska kolla imorgon eller så, så titta in här igen senare angående det.
Nu akut dags att måla klart (bl.a. en tavla med massor av fåglar!) inför vernissagen... ;-)
Talgbollarna är för övrigt just slut för säsongen - en stackars blåmes kom hit dagen efter att de tomma gröna nätpåsarna plockats bort, och verkade ganska förvirrad. Den sjöng en liten trudelutt innan den flög iväg.
Förhoppningsvis har de hittat andra matställen också - och nu är det ju vår så de borde klara sig.
Tror de har lämnat boet i ett träd i närheten. De syns inte alls till längre.
Jag tyckte också att tv-programsdilemmat verkade ologiskt och svårförståeligt först, men vid närmare eftertanke så är det ju inte svårare än såhär:
Om man håller fast vid sitt ursprungliga val, så vinner man om man prickar rätt från början, alltså är sannolikheten för vinst 1/3.
Om man byter så förlorar man bara om man ursprungligen prickade rätt, alltså är det istället sannolikheten för förlust som är 1/3 och således sannolikheten för vinst 2/3.
Det luriga ligger i att programledaren alltid öppnar en låda med nit i. Om programledaren även hade kunnat öppna vinstlådan så hade det inte spelat någon roll om man bytte eller inte eftersom ens byte då inte spelar någon roll ifall vinstlådan skulle öppnas (vilket leder till att man inte kan få vinsten).
Intressant "twist" på slutet - det vore ju en ännu mer spännande lek - om lekledaren kan plocka bort vilken låda som helst - och själv inte vet var vinsten ligger...
Jag tycker att det allra lurigaste ligger i att man inte får sortera bort den öppnade nitlådan...
Då måste man tänka sig den som 1/3 möjlighet, fast den redan är öppnad, och bevisligen inte en vinst.
Då är det i realiteten bara två möjliga lådor kvar att välja mellan. Så det verkar vara 1/2 chans oavsett vilken låda man väljer i det läget - eftersom det finns en vinst och en nit kvar.
Den klassen med de andra jag varit i blir nog betydeligt fler än 40. Å andra sidan har jag bortsedt lågstadiet ingen absolut koll på andra "låtsastvillingar"
två terningar, samma resultat: 11-22-33-44-55-66 =6/36
tre terningar, minst två samma resultat: 111-11x-1x1-x11-22x ... =24/216
fyra terningar, minst två samma resultat ... 1111-111x-11x1-11xx-1x11-1x1x-1xx1-x111-x11x-x1x1-xx11 =66/1296 ... oops! hvad händer om de båda x äro lika?
på sju terningar är det hundra procents chance att minst två ha samma resultat
om det är 367 pers på ett möte, är det 100% på att två minst ha samma födelsedag och för att det skall vara 366 olika födelsedagar kräfs dessutom att ngn är född den 29 februari
en gg till då
två terningskast, antal möjligheter till helt olika utfall: 6*5/6*6=30/36
tre: 6*5*4/6*6*6=120/216 fyra: 6*5*4*3/6^4=360/1296 fem: 360*2/1296*6=720/7776 sex: 1440/46656, då de 1440 olika bara äro omkastningar af samma sex olika siffror ...
Kul att ni filosoferar under min målningsbloggpaus... :-)
Vill du förtydliga poängen med siffrorna en aning, Hans?
Stämmer det alltså att sannolikheten att 2 personer av 40 fyller år samma dag är så hög som 90%?
Det verkar inte riktigt så om jag tolkar siffrorna rätt...
Jag känner ingen som fyller år samma dag som jag. Undrar om jag nånsin varit i samma rum som någon med samma födelsedag. Det är väl ganska sannolikt kan jag tro. Synd att man inte visste om det bara...
Däremot känner jag tre som fyller år den 24 september... Så det är väldigt enkelt att komma ihåg deras födelsedag... ;-)
"Stämmer det alltså att sannolikheten att 2 personer av 40 fyller år samma dag är så hög som 90%? Det verkar inte riktigt så om jag tolkar siffrorna rätt... Jag känner ingen som fyller år samma dag som jag."
Statistiken säger att du säkert har minst två i din bekantskapskrets som fyller år samma dag. INTE att någon av dessa personer skulle vara just DU (alltså; en viss person i gänget) (för det gäller en mycket mindre sannolikhet).
Den säger bara att du har låtsastvillingar bland dina vänner.
Tydligen har du minst ett par som fyller år samma dag, julafton, så det stämmer alltså.
Sälv har jag upptäckt flera låtsastvillingar: Min far och min vän Henry. Jonathan och Andreas. Maria och Jöran. etc etc
Har fortfarande inte hunnit till läsningen av ursprungsinlägget (det får bli efter deklarationen...pust!).
Men jag kan inte minnas att någon i min klass fyllde år samma dag som någon annan. Nånsin under skoltiden, i skiftande skolor. Nu var vi inte 40, men åtminstone omkring 30 i varje klass.
Så nog tycker jag att det låter lite väl högt - men, men...
Har lärt mig att sannolikhet inte behöver vara logiskt... ;-)
Att födelsedagar är lite ojämnt fördelade mellan årstider bör påverka resultatet en aning uppåt. Att några är födda 29 februari (skottår) bör påverka en aning neråt.
(Formlerna stämmer inte alls om värden medvetet valt att bara bjuda gäster med olika födelsedagar, eller bara med samma.)
David A Bra, fast det du räknade ut var 1 - P dvs sannoliheten för att det FINNS ett tvillingpar bland 40 pers (= Ett minus sannolikheten för att det inte finns något par).
Jag skrev upp formeln för att det INTE finns någon tvilling bland 40 pers. En petitess, men jag vill inte förvilla Charlotte. :)
Som kuriosa kan jag nämna att födelsedagsparadoxen inte bara är kuriosa. Jag har t.ex använt den i mitt jobb. Men först en annan hypotetisk användning.
Länder brukar ge medborgare unika personnummer. I sverige har vi valt ett systematiskt sätt att skapa nummer som garanterar att de blir unika. Men vi kan tänka oss ett hypotetiskt land som väljer att slumpa ett nummer varje gång en medborgare föds. Om personnummret har tillräckligt många siffror är de osannolikt att två personer får samma nummer.
Fråga: Antag att landet har 9 miljoner invånare. Hur många siffror måste personnummren ha för att det ska bli osannolikt att två slumpvis skapade nummer ska vara lika?
Innan vi börjar räkna måste vi bestämma "osannolikt". En promille låter lagom. p=0,001. En fest har 9 milj deltagare, hur många dagar måste det finnas på ett år för att risken att två har samma födelsedag ska vara en promille? Kör approximationsformeln i wikipedia baklänges med p(9000000)=0,001 så får du 93208061143012960 dagar/år.
Svar: Personnummren måste ha 17 siffror.
I mitt jobb stötte jag på en dokumentdatabas som hashade (en slags slumpande) ett "unikt" id-nummer för varje dokument. Om två dokument fick samma hash så vore det ett allvarligt fel. Jag räknade ut hur många dokument man skulle kunna ha innan risken för det blev oacceptabelt stor. I samband med det slog jag upp födelsedagsparadoxen på nätet.
Charlotte: Jag funderar på vad som hände i den här tråden. Pedagogiska eller psykologiskt.
Z har en länk till Anders' sida med diagram och formler. Hans resonerar kring fallet 6 alternativ i stället för 365. Z presenterar en formel. Jag länkar till diagram och formler hos wikipedia och visar ett litet datorprogram som beräknar Zs formel.
Sedan säger du: "Då verkar tesen alltså stämma."
Jag antar att du inte har kört mitt lilla program på din dator, så var det att jag påstod att programmet svarade 0.89 som övertygade dej? Om du kört det själv, har du kontrollerat att det verkligen beräknar Zs formel, så inte det heller bara är nått jag påstått? Förstår du Zs formel bättre än Anders' formel, så den övertygar dej bättre?
Jag antar att din fråga ifall 90% verkligen stämmer uppstod när du såg diagrammet. Det finns approximativa formler på wikipedia som går att räkna ut på en miniräknare med [e^x]-knapp. Hade wikipedia övertygat dig mer om du själv gjort beräkningen med deras formel, jämfört med att titta i deras diagram eller tabell?
Vad är det som händer när du litar mer på Z och en anonym David än på wikipedia och Anders?
Har du till slut förstått paradoxen, eller var det att allt fler sa 90% som gjorde att du accepterade det som sanning?
Förstår inte hur du kommer fram till dina slutsatser i den senaste kommentaren??
Jag litar inte mer på dig och Z än på Anders och Wikipedia i fråga om detta - särskilt inte som ni alla säger samma sak. :-)
Det var alla fakta sammantagna - samt att jag äntligen fick en stund över till att fördjupa mig i det hela - och framför allt läsa Anders inlägg - som gjorde att det blev tydligt.
Eftersom Anders förmodligen inte har hittat den här tråden är det väl ingen idé att jag tackar även honom här (iofs skrev jag en kommentar i hans blogg)? Jag tycker nog att han förklarade det enklast av alla - och jo, jag satte mig faktiskt in i ett uträkningsprogram som jag hittade via hans inlägg och testade lite.
För övrigt tyckte jag inte att det var svårt att förstå själva exemplet - men uträkningssymbolerna är rena grekiskan för mig som inte har lärt mig allt det där, då matte inte är mitt allra största intresse här i livet (har bara läst humanistmatte, om än jag hade högsta betyg i det).
Fast jag gillar skarpt att fundera över såna här klurigheter. Samt att experimentera med klurigheterna i praktiken om möjligt för att tydliggöra det ännu mer.
Charlotte: Förlåt, jag förhastade mig visst i antagandet om i vilken ordning saker hände. Och tack för ett bra svar.
Fler exempel?
Du kanske redan har uttömt den här lilla samling Kategori:Paradoxer (wikipedia)? Eller blir det en bloggpost om varje? :-)
Vad följande paradox heter vet jag inte, men jag gillar den:
En spegel. Min avbild i spegeln blir spegelvänd, den vänder höger och vänster, inget konstigt med det. Men den vänder inte upp och ner. Hur kan spegeln veta att den ska vända höger/vänster men inte upp/ner? Den är ju konstruerad på samma sätt i båda riktningarna.
Thanks! Jag funderar fortfarande kring detta:
Om 40 personer står i ett rum, är sannolikheten 90% att minst två av dem har födelsedag samma datum.